述語論理と集合

復習したのでメモ．

$f: \mathcal{X} \to \{0, 1\}$を述語（条件）と言おう（0はfalse, 1はtrueを表す）．$\left\{x \in \mathcal{X} | f(x) = 1\right\}$を，単に$\left\{x \in \mathcal{X} | f(x)\right\}$と書こう．述語は自然言語で書いてもいいので，かなり自由度が高い．

全称と存在を考える．以下は命題になる．

$\begin{aligned} \forall x \in \mathcal{X}, f(x) \\ \end{aligned}$

ちょっと見方を変えると，これは，

$\begin{aligned} \wedge_{x \in \mathcal{X}} f(x) \end{aligned}$

と同じ多分．$\mathcal{X}$が有限じゃない時とかはよくわからんけど．

存在も以下のように似たように考えればいい．

$\begin{aligned} \exists x \in \mathcal{X}, f(x) \Leftrightarrow \vee_{x \in \mathcal{X}} f(x) \end{aligned}$

$f: \mathcal{X} \times \mathcal{Y} \to \{0, 1\}$を考える．以下は述語．

$\begin{aligned} \wedge_{x \in \mathcal{X}} f(x, y) \end{aligned}$

これが成り立つ$y$の集合を考える．

$\begin{aligned} \left\{y \in \mathcal{Y} | \wedge_{x \in \mathcal{X}} f(x, y) \right\} \end{aligned}$

おそらく，

$\begin{aligned} \left\{y \in \mathcal{Y} | \wedge_{x \in \mathcal{X}} f(x, y) \right\} = \cap_{x \in \mathcal{X}} \left\{y \in \mathcal{Y} | f(x, y)\right\} \end{aligned}$

となる．

存在の方も同様に，

$\begin{aligned} \left\{y \in \mathcal{Y} | \vee_{x \in \mathcal{X}} f(x, y) \right\} \Leftrightarrow \cup_{x \in \mathcal{X}} \left\{y \in \mathcal{Y} | f(x, y)\right\} \end{aligned}$

となると思う．

これは，確率を考える上でかなり大事になってくると思う．
何かが存在する確率を，和集合の確率で表すことができて，そのupper boundが簡単にでる．この辺はまた今度気が向いたら書こうと思う．