20190829

述語なのか，命題なのかを注意して式をみる．

急に収束の速さに興味が湧いたので，関係ありそうなオーダー記法を勉強してみる．

オーダー記法

参考:

• https://azapen6.hatenablog.com/entry/2013/02/07/155401

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Big O

$\begin{aligned} f(x) = O(g(x)) \quad (x \to \infty) \end{aligned}$

十分先で$f(x)$は$g(x)$の定数倍で抑えられる．
$\exists c > 0; \exists x_0 > 0; \forall x; x \geq x_0 \Rightarrow |f(x)| \leq c |g(x)|$．

$\begin{aligned} f(x) = O(g(x)) \quad (x \to a) \end{aligned}$

$a$らへんで，$f(x)$は$g(x)$の定数倍で抑えられる．
$\exists c > 0; \exists \delta > 0; \forall x; 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x)| \leq c |g(x)|$．

これは，グローバルな$x_0$と$c$の存在をいっている．

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small o

$\begin{aligned} f(x) = o(g(x)) \quad (x \to \infty) \end{aligned}$

Big Oとは違って，$c$によって，$x_0$が変わる．

$\forall c > 0; \exists x_0 > 0; \forall x; x \geq x_0 \Rightarrow |f(x)| < c |g(x)|$

$x \to a$の時:

$\begin{aligned} f(x) = o(g(x)) \quad (x \to a). \end{aligned}$

$\forall c > 0; \exists \delta > 0; \forall x; 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x)| < c |g(x)|$

式に出てくる場合

$f(x) = 1 + 3x + O(x^2) \quad (x \to 0)$

これをみたとき，

$f(x) \leq 1 + 3x + c x^2$

を考えるのかなと思った．で，これが$0$らへんで成り立つと．
基本的に，不等式を書き直すためにあると思う．

全然進まなかったけどとりあえずこの辺で．明日もやる．

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