Random Projection (part 3)

前回の記事で，$v_i \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{k} \|\bm{u}\|)$となることを示した．今回は$\|\bm{v}\|^2$の分散を求めようと思う．
$\{v_i\}_{i=1}^k \overset{i.i.d.}{\sim} \mathcal{N}(0, \frac{1}{k} \|\bm{u}\|^2)$なので，

$\begin{aligned} \mathbb{V}\left[\|\bm{v}\|^2\right] &= \mathbb{V}\left[\sum_{i=1}^k v_i^2\right] = \sum_{i=1}^k \mathbb{V}\left[v_i^2\right] \end{aligned}$

となる．さらに，

$\begin{aligned} \mathbb{V}\left[v_i^2\right] &= \mathbb{E}\left[v_i^4\right] - \mathbb{E}\left[v_i^2\right]^2 \\ &= \frac{3}{k^2} \|\bm{u}\|^4 - \frac{1}{k^2} \|\bm{u}\|^4 \\ &= \frac{2}{k^2} \|\bm{u}\|^4 \end{aligned}$

である．モーメントの求め方は以下の記事に書いてある．

• http://peroon.hatenablog.com/entry/20080517/1210999863

よって，

$\begin{aligned} \mathbb{V}\left[\|\bm{v}\|^2\right] &= \frac{2}{k} \|\bm{u}\|^4 \end{aligned}$

である．

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