ルベーグ可測集合の自分なりの解釈

ルベーグ可測集合というのを導入する．導入のモチベーションを考えよう．あくまでも自分なりのイメージです．

ルベーグ外測度は，$E \subset G$に対して，$|G - E|_e$を考えれば，距離みたいなものとも考えられる（実際には距離ではない）．こうなると，極限みたいなものが定義できそう．

$E$がルベーグ可測集合とは，任意の$\epsilon > 0$に対して，$G \supset E$で，$|G - E|_e < \epsilon$となるような開集合$G$が存在することをいう．

では，このような集合を考えることで，どんな嬉しいことがあるのだろう？

まず，開集合のルベーグ外測度は体積になっている．ある集合が開集合で包めるなら，その集合の体積を近似できそう．包む開集合がタイトであればあるほど正確にその集合の体積を測ることができる．包む開集合をいくらでもタイトにできるような集合の体積は， ほとんど誤差なく測ることができそう．このような集合がルベーグ可測集合だと思っている．

こう考えると，なんというか，ルベーグ可測集合は開集合を集合の極限としてもつと言っても良いのだろうか？

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